上周我们已经和大家分享了橡胶超弹性的理论及模型，本周我们将用一个实例来详细演示如何在 Altair Radioss™ 中使用橡胶超弹性材料的材料测试数据。
Radioss 支持超弹性材料的材料试验数据直接输入和超弹性模型参数输入。根据变形状态和可用的材料试验结果 (单轴拉伸、双轴拉伸或平面拉伸)，可在 Radioss 中使用不同的材料模型。
使用的卡片
超弹性 Ogden 材料模型：
-
/MAT/LAW42, /MAT/LAW62, /MAT/LAW69, /MAT/LAW82, /MAT/LAW88
超弹性 Arruda-Boyce 材料模型：
-
/MAT/LAW92
超弹性 Yeoh 材料模型：
-
/MAT/LAW94
模型
/demos/hwsolvers/radioss/56_HyperElastic_Material/Ogden_model/*
/demos/hwsolvers/radioss/56_HyperElastic_Material/Arruda_Boyce_model/*
/demos/hwsolvers/radioss/56_HyperElastic_Material/Yeoh_model/*
单轴拉伸如下所示一个单个单元，在X方向一端设置固定约束，另一端施加X方向强制位移。
图1： 模型介绍
使用单位制：mm, s, Mg, N, MPa
单元属性： /PROP/SOLID卡片中
使用 Isolid=24 , Ismstr=10 , Icpre=1
注意：当使用超弹性材料卡片时，有一些推荐的单元属性设置。使用实体单元时，最好尽可能使用8节点 /BRICK 单元进行网格划分。如果几何复杂那么也可使用 /TETRA4 或 /TETRA10 单元划分。8节点实体单元的属性建议在 /PROP/SOLID 中设置 Ismstr=10，Icpre=1，Isolid=24。
模拟迭代
这个例子演示了如何使用工程应力应变测试数据作为不同超弹性材料卡片的曲线输入和参数输入。
使用 Treloar[1944] 收集的 8% 硫橡胶试验数据的超弹性数据。图2显示了三种不同的试验数据：单轴拉伸、等双轴拉伸和纯剪切（平面拉伸）表征材料力学属性。有关这些类型测试的详细信息，请参见文末参考文献[2]。
图2：Treloar[1944] 试验数据
下表总结了 Radioss 中超弹性材料模型的输入方式（曲线输入和/或参数输入）：
对于基于 Ogden 模型的材料卡片，LAW69 可用于曲线拟合测试数据并提取，这些数据可用于 LAW42、LAW62 和 LAW82 的材料参数。另外，测试数据可以直接在 LAW88 和 LAW92 中使用。最后，在这个例子中也提供了利用拟合脚本提取 LAW94 材料参数。
Ogden模型
▇ 1. 在 LAW69 卡片中输入试验数据
材料卡片 LAW69 可以定义使用 Ogden 和 Mooney-Rivlin 的材料模型的超弹性和不可压缩材料。
它通常用于模拟不可压缩橡胶、聚合物、泡沫和弹性体。Ogden 或 Mooney-Rivlin 材料模型的材料参数由单轴拉伸（正应变）和压缩（负应变）试验的工程应力-应变曲线计算得出。Treloar 的单轴数据仅为单轴拉伸数据。
另外，对于不可压缩材料，单轴压缩数据可以使用下面这些公式 [3]从等双轴拉伸试验数据中计算得到。
这里 εc 是单轴压缩工程应变, εb 是等双轴拉伸的工程应变, σc 单轴压缩工程应力，σb 是等双轴拉伸的工程应力。
工程应变应单调地从压缩时的负值增加到拉伸时的正值。压缩时，工程应变不应小于 -1.0，因为 -100% 的应变在物理上是不可能的。拟合试验数据得到材料参数。
尽管可以仅使用拉伸的单轴应力-应变曲线，这里的示例使用单轴压缩和拉伸数据来更好地描述压缩和拉伸加载情况。
本例中使用了以下 LAW69 选项:
-
超弹性材料模型类型 LAW_ID=1:Ogden 模型
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材料参数对的个数：N=2或3（N>3在实际应用中很少使用）
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Fct_ID1 中输入单轴压缩/拉伸试验得到的工程应力-应变曲线
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v=0.4997，该值是为了获得不可压缩橡胶材料的最佳拟合，但如后文所述，该高值导致较低的时间步长，因此通常建议值为 0.495
运行 Radioss 的 Starter 后，Starter 输出文件 ( *0000.out ) 包含 Radioss 计算的材料拟合参数和原始输入数据的应力-应变曲线。计算出的拟合参数、剪切模量和体积模量也包含在输出中。
Starter 输出文件示例：
下面绘制测试数据和 Radioss 拟合数据，以比较匹配程度。
图3: LAW69 卡片拟合 Ogden 模型二阶 N=2 和三阶 N=3 参数
下面是在 Radioss 中使用简单的单个单元模型用拟合的数据计算后的输出结果。
图4: LAW69（N=2和N=3）单个单元的计算结果
如图4 所示，单个单元模型模拟的计算应力应变曲线与 Treloar 测试数据比较匹配。
请注意，在图 4 中，工程应力应变曲线是根据 /ANIM /BRICK /TENS /STRESS /ALL 和 /ANIM /BRICK /TENS /STRAIN /ALL 动画输出的主方向 1(P1) 中的应力应变结果。
泊松比和压缩模量的影响
在 LAW69 中，拟合的 Ogden 参数基于不可压缩材料的假设，即 v=0.5，但是在模型中是无法使用的 v=0.5，因为这将导致无限大体积模量，无限大的应力波速度，从而得到无限小的时间步长。
图5 中可以看到不同泊松比输入的效果。结果的最大差异是应变量较高的应力。v=0.4997 结果值与测试数据较好地匹配测试数据，但这将导致时间步长比 v=0.495 低了 4 倍。
因此，为了平衡计算时间和精度，建议使用 v=0.495 作为不可压缩的橡胶材料的泊松比输入。这个泊松比效应在所有 Ogden 材料卡片中都同样会有。
图5：泊松比在结果和时间步长中的影响
▇ 2. 在 LAW88 卡片中输入试验数据
LAW88 支持多变速率应力应变曲线和卸载曲线的输入。通常 LAW88 比 LAW69 能更好地匹配测试曲线。
注意：使用 LAW88 卡片时建议使用包括压缩和拉伸的完整的单轴测试数据。
图7：LAW88 和 LAW69 的结果与测试数据比较
如果只有单轴拉伸数据可用，则可以使用 LAW69 卡片，并且使用单个单元的模型将压缩区段的数据计算出来，然后将完整的拉伸压缩数据用于 LAW88 卡片中。
图 8：扩展压缩数据
▇ 3. 在 LAW42、LAW62 和 LAW82 中参数输入
从 LAW69 计算拟合的的 Ogden 材料参数可用作其他 Ogden 材料卡片 LAW42、LAW62 和 LAW82 中的输入。
-
对于 LAW42 卡片，可以使用 LAW69 卡片中输入试验数据，Starter中拟合的参数直接用于 LAW42 卡片。
-
对于 LAW62 和 LAW82, 使用 LAW69 卡片中输入试验数据，Starter 中拟合的参数需要进行相应的转换以后可以输入 LAW62 和 LAW82 卡片。
比如考虑到具有 N=2 的二阶 Ogden 模型，考虑材料不可压缩时，LAW42 和 LAW82 中使用的能量密度函数如下所示：
要将 LAW42 材料参数输入转换为 LAW62 或 LAW82，可以使用以下方程:
图 9 显示了从使用 LAW69 卡片 Radioss 拟合的（二阶）Ogden参数转换为 LAW82 参数以及 LAW42 参数，与使用 LAW69 卡片的单个单元模型结果匹配。
图 9：LAW42、LAW82 和 LAW69 的结果与测试数据相比
Arruda-Boyce 模型, /MAT/LAW92
Arruda-Boyce 材料模型 （/MAT/LAW92）既允许试验曲线输入，也可以允许材料参数输入。
使用试验曲线输入时，
◾ Itype=1: 单轴测试
◾ Itype=2: 等轴测试
◾ Itype=3: 平面测试
在使用 LAW92 卡片时，如果使用曲线输入，那么参数输入行就留空，并且一个卡片只能选用一种载荷类型的曲线数据。
LAW92 使用 Itype=1的例子：
Radioss 的 Starter 运行完成后，Starter 的输出文件(*0000.out)会打印 Radioss 拟合参数的信息（如下所示）：
接下来的 Radioss 的 engine 运行时就使用拟合的 Arruda-Boyce 参数用于计算超弹性材料的应力应变。
如果在 LAW92 输入卡片中直接输入这些拟合得到的 Arruda-Boyce 参数，那么会得到一样的计算结果，如下面图10 所示。
图10: LAW92 使用曲线输入和拟合参数输入
注意使用正的剪切模量，μ，以及变形限制，λm，那么 Arruda-Boyce 模型总是稳定。
当使用曲线输入时，如果输入不同的泊松比，那么 Radioss 拟合的 D 参数也会相应不同。D这个材料参数用于计算压缩模量。
由于一张 LAW92 卡片中仅有一种试验类型(Itype)的数据，比如使用的是单轴拉伸的曲线，那么拟合出来的 Arruda-Boyce 参数 μ，D，λm 对于单轴拉伸状态描述要好过其他应力状态。
如果同时具备不同类型的试验数据，那么可以根据实际主要受力状态来调整各个试验数据拟合出来的材料参数的权重，最终确定一个合适的材料参数，以参数输入的方式使用于 LAW92，比如下面例子以一样权重的考虑不同载荷类型效应计算材料参数 μ，D，λm ：
Yeoh 模型, /MAT/LAW94 (YEOH)
Yeoh 模型目前仅支持参数输入，今后也会同样支持曲线输入。
Yeoh 参数可以使用其他软件，比如 Altair Compose™ 编写相应的拟合脚本 (点击此处下载) 来计算 Yeoh 模型参数。
如果假设超弹性材料是不可压缩的，即 J=1，那么 Yeoh 模型的应变能计算如下:
由于 Yeoh 模型仅与第一偏应变不变量
有关，这里 λ1，λ2，λ3 是1，2，3个方向上的主应变，他们于工程应变的关系是
εi 是主方向 i 上的工程应变。
对于单轴试验:
所以 Yoeh 模型中的 Cauchy 应力计算如下:
在单轴试验中的主方向1上的 Cauchy 应力即为:
运行 Compose 拟合脚本, 可以得到拟合的 Yeoh 材料参数 Ci0，该信息打印在 Compose 的命令窗口:
图 11: 使用Compose脚本拟合Yeoh材料参数
接着将拟合得到的材料参数 Ci0 输入 LAW94 中使用。在下面的例子里面使用 v=0.4997 （这里为了得到较好的结果，通常使用 0.495），那么
显示结果与试验结果非常相近。.
LAW94 卡片如下：
图12：LAW94 拟合参数结果和 Treloar 试验数据
泊松比会影响材料在较高应变处的计算精度，同时由于它影响显示分析中的时间步长，导致影响整个数值计算时间。通常对于橡胶等不可压缩的材料，建议使用 v=0.495 。
对于 Ogden 模型，Radioss 可以使用 LAW69 来拟合 Ogden 参数。这些拟合的 Ogden 参数可以用于其他 Ogden 材料卡片。
对于 Arruda-Boyce 模型，Radioss 支持曲线输入和参数输入。
对于 Yeoh 模型，当前仅支持参数输入，但通过使用 Altair Compose 脚本也可以很容易获得拟合参数。
[1] Treloar, L. R. G. “Stress-strain data for vulcanised rubber under various types of deformation.” Transactions of the Faraday Society 40 (1944): 59-70.
[2] Miller, Kurt. “Testing Elastomers for Hyperelastic Material Models in Finite Element Analysis” Axel Products, Inc., Ann Arbor, MI (2017). Last modified April 5, 2017,
http://www.axelproducts.com/downloads/TestingForHyperelastic.pdf
[3] Axel Products, Inc. “Compression or Biaxial Extension” Ann Arbor, MI (2017). Last modified November 12, 2008,
http://www.axelproducts.com/downloads/CompressionOrBiax.pdf